lunes, 2 de agosto de 2010
domingo, 1 de agosto de 2010
I. LA CIRCUNFERENCIA
1. Definición
Mueve el punto P. Define una circunferencia con tus propias palabras.
2. Ecuaciones de la Circunferencia.
a. Ecuación de la circunferencia.
Si (h ; k)=(0 ; 0) entonces, se tiene que:
Mueve el punto P. Define una circunferencia con tus propias palabras.
2. Ecuaciones de la Circunferencia.
a. Ecuación de la circunferencia.
b. Ecuación Canónica de la Circunferencia.
Si (h ; k)=(0 ; 0) entonces, se tiene que:
c. Ecuación General de la Circunferencia.
Donde:
II. Recta tangente a una circunferencia.
Mueva el punto "a" y determine las rectas tangentes a la circunferencia y paralelas a la recta dada.
¿Cuántas son las rectas tangentes a la circunferencia? ¿En qué se parecen las ecuaciones de estas rectas? ¿En qué se diferencian?
Considere el sistema formado por una circunferencia y una recta:
Determinando “b”:
¿Cuántas son las rectas tangentes a la circunferencia? ¿En qué se parecen las ecuaciones de estas rectas? ¿En qué se diferencian?
Considere el sistema formado por una circunferencia y una recta:
Reemplazando (2) en (1)
Resolviendo la ecuación cuadrática (3):
Para que la ecuación anterior de un solo valor para “x”, y por lo tanto un único punto de tangencia, se debe cumplir:
Esta última ecuación es la condición que toda recta de la forma y = mx + b debe cumplir para ser una recta tangente a una circunferencia con centro en el origen.
Determinando “b”:
Por diferencia de cuadrados:
Las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia 
son:
I. LA PARÁBOLA
1. Definición.
Mueva el punto B.
El lugar geométrico que ha encontrado se denomina "Parábola"; con tus propias palabras responde a la pregunta ¿Qué es una Parábola?
Mueva el punto B.
El lugar geométrico que ha encontrado se denomina "Parábola"; con tus propias palabras responde a la pregunta ¿Qué es una Parábola?
II. Ecuaciones de la parábola.
La directriz L:
El punto P = (x ; y)
La distancia del punto P a la directriz L:
P=(x ; y) y F=(0 ; p) son puntos.
Luego:
Reemplazando (2) y (3) en (1):
b. Ecuación ordinaria de la parábola.
Se pretende encontrar la ecuación de una parábola cuyo vértice no coincide con el origen de coordenadas.
El punto P en el nuevo sistema de coordenadas es (x' ; y') y en el sistema de coordenadas cartesianas es (x'+h;y'+k) como se muestra en la siguiente figura:
c. Ecuación General de la parábola.
Considerando la ecuación ordinaria:
Esta ecuación encontrada es denominada “Ecuación General de la Parábola”, donde:
I. LA ELIPSE
1.Definición.
Mueva el punto con el mouse.
¿Cuál es el valor que se obtiene siempre al sumar la distancia del Foco1 al punto P y la distancia del punto P al Foco2?
¿Cuál es la denominación literal que se da a la suma de esas distancias?
El lugar geométrico, pintado de amarillo, que ha encontrado se denomina elipse. ¿Qué es una elipse?
Debe hacer coincidir el punto P con el punto B1, algo nuevo tiene que aparecer, ¿Qué otra figura se ha formado?
Efectivamente, se han formado dos triángulos rectángulos; por lo que el Teorema de Pitágoras es aplicable:
Observa la aplicación anterior y responde: ¿Cuál es el valor de la hipotenusa? ¿Quién es mayor numéricamente a, b ó c? ¿Que representa “c”? ¿Y “b”?
Dibuja en tu cuaderno una elipse y señala todos sus elementos.
Mueva el punto con el mouse.
¿Cuál es el valor que se obtiene siempre al sumar la distancia del Foco1 al punto P y la distancia del punto P al Foco2?
¿Cuál es la denominación literal que se da a la suma de esas distancias?
El lugar geométrico, pintado de amarillo, que ha encontrado se denomina elipse. ¿Qué es una elipse?
Debe hacer coincidir el punto P con el punto B1, algo nuevo tiene que aparecer, ¿Qué otra figura se ha formado?
Efectivamente, se han formado dos triángulos rectángulos; por lo que el Teorema de Pitágoras es aplicable:
Observa la aplicación anterior y responde: ¿Cuál es el valor de la hipotenusa? ¿Quién es mayor numéricamente a, b ó c? ¿Que representa “c”? ¿Y “b”?
Dibuja en tu cuaderno una elipse y señala todos sus elementos.
II. Ecuaciones de una elipse.
a. Ecuación Canónica de una elipse.
Se cumple que:
Del grafico:
Efectuando los productos notables, pasando el segundo sumando al otro miembro de la ecuación y elevando al cuadrado:
Simplificando y efectuando:
Elevando al cuadrado:
Como
b. Ecuación Ordinaria de la Elipse.
La elipse, de color amarillo, tiene como centro un punto diferente al origen de coordenadas; para encontrar su ecuación es necesario establecer otro sistema de coordenadas, de color anaranjado. En este nuevo sistema de coordenadas la ecuación de la elipse es:
En la figura anterior note que:
Despejando:
Reemplazando en nuestra primera ecuación:
c. Ecuación general de la Elipse.
Considere la ecuación ordinaria de la elipse:
Desarrollando los productos notables: 
Haciendo:
se tiene la ecuación general de la elipse:
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