II. Ecuaciones de la parábola.

La directriz L:

El punto P = (x ; y)


La distancia del punto P a la directriz L:

P=(x ; y) y F=(0 ; p) son puntos.

Luego:

Reemplazando (2) y (3) en (1):

b. Ecuación ordinaria de la parábola.


Se pretende encontrar la ecuación de una parábola cuyo vértice no coincide con el origen de coordenadas.

Para ello creamos un nuevo sistema de coordenadas cuyo origen coincida con el vértice V de la parábola.

Note que en este nuevo sistema de coordenadas la ecuación de la parábola es.




El punto P en el nuevo sistema de coordenadas es (x' ; y') y en el sistema de coordenadas cartesianas es (x'+h;y'+k) como se muestra en la siguiente figura:

Del grafico:

Despejando x' e y' :

Reemplazando estas ecuaciones en la ecuación canónica:

Esta ecuación es la denominada “ecuación ordinaria de la parábola”.

c. Ecuación General de la parábola.


Considerando la ecuación ordinaria:


Esta ecuación encontrada es denominada “Ecuación General de la Parábola”, donde: